Følger og rekker

Følger

For å finna ledd i talfølger kan ein bruka ekplisitte formlar, eller finna leddet rekursivt. Me skal sjå på døme på korleis me kan gjera begge deler, både for aritmetiske og geometriske følger.

Eksplisitt

Gitt den aritmetiske talfølga

\[3, 7, 11, 15, \ldots\]

Her er det første leddet \(a_1 =3\) og differansen mellom kvart ledd er \(d=4\). Dermed vil

\[a_n = a_1 + d(n-1)\]

Denne eksplisitte formelen for det n-te leddet kan me t.d. definera som ein funksjon i python:

def a(n):
    return 3 + 4*(n - 1)

print(a(4))

15

Denne funksjonen kan me bruka for å skriva ut dei ti første ledda:

for i in range(1, 11):
    print(a(i), end = ", ")    # end = "\n" (linjeskift) er standarden

print("...")

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, ...

Rekursiv

Sidan følga i dømet overt er ei aritmetisk følge kan me finna eit ledd ved å legga til differansen til leddet før, altså

\[a_n = a_{n-1} + d\]

For å finna det n-te leddet her må me då starta med \(a_1\) og jobba oss fram til \(a_n\).

def a(n): 
    if n == 1:
        return 3                # det første leddet, a_1
    else:
        return a(n-1) + 4       # leddet før + differansen

print(a(4))

15

Skriv ut dei ti første ledda:

for i in range(1, 11):
    print(a(i), end = ", ")    

print("...")

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, ...

Fibonacci

Somme talfølger kan vera krevande å finna eksplisitte uttrykk for. Eit døme på dette kan vera Fibonacci-talfølga

\[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots\]

der kvart ledd er summen av dei to førre ledda. Altså at \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\).

Å finna ledda rekursivt vert dermed mykje enklare enn å finna ein eksplisitt formel:

def F(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1            # dei to første ledda er 1
    else:
        return F(n-1) + F(n-2)

for i in range(1, 16):
    print(F(i), end = ", ")

print("...")

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

Følger og arrays

Viss me er interessert i å lagra alle ledda i ei følge kan det vera greit å bruka arrays (frå NumPy-biblioteket).

Me ser igjen på den aritmetiske følga

\[3, 7, 11, 15, \ldots\]

import numpy as np

a = np.array([3, 7, 11, 15])

for i in range(6):
    a = np.append(a, a[-1] + 4) 

print(a)

[ 3  7 11 15 19 23 27 31 35 39]

np.append brukar me for å legga til eit nytt element i arrayen.

a[-1] gjev oss det siste leddet i arrayen.

Ser me på Fibonacci-dømet kan me gjera det same her:

fib = np.array([1, 1])

for i in range(10):
    fib = np.append(fib, fib[-1] + fib[-2])
    
print(fib)

[  1   1   2   3   5   8  13  21  34  55  89 144]

Å bruka arrays kan vera ein føremon når me skal vidare til rekker. I tillegg kan me enkelt laga enkle talfølger ved hjelp av NumPy, til dømes dei naturlege tala:

n = np.arange(1, 11)

print(n)

[ 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10]

Me kan enkelt summera ledda i arrayen (her: dei 10 første naturlege tala)

s = n.sum()

print(s)

55

I tillegg kan me summera ledd for ledd og få ei liste med kumulative summar:

s2 = n.cumsum()

print(f"ledd: {n} \nsum:  {s2}")

ledd: [ 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10] 
sum:  [ 1  3  6 10 15 21 28 36 45 55]